סכומים בקפיצות בסדרה הנדסית – בגרות קיץ 2021 מועד ב׳סדרות 571 · שיעור 46
קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 2 · סעיפים א , ב
שיעור 46: סכומים בקפיצות בסדרה הנדסית – בגרות קיץ 2021 מועד ב׳
פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)
1נוסח השאלה
2סעיף א (1) – הסכום A
3סעיף א (2) – הסכום B
4סעיף ב – מציאת q
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה הנדסית אינסופית: a1 , a2 , a3 , …. מנת הסדרה היא q.
א. הביעו באמצעות a1 ו־q:
(1) את הסכום A = a2 + a4 + a6 + … + a40.
(2) את הסכום B = a4 + a8 + a12 + … + a40.
נתון כי הסדרה an עולה, וכי AB = 109.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. מצאו את q.
סעיף א (1) – הסכום A
האיברים במקומות הזוגיים יוצרים סדרה הנדסית: האיבר הראשון a2 והמנה q2.
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
a2 = a1q
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
qA = q2
מ־a2 עד a40 יש 20 איברים (המקומות 2, 4, …, 40):
📐 חישוב: מספר איברים
A = a1q((q2)20 − 1)q2 − 1
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית
A = a1q(q40 − 1)q2 − 1
📐 נוסחה: חזקה של חזקה
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
📐 חישוב: מספר איברים
n = 40 / 2 = 20
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1
📐 נוסחה: חזקה של חזקה
(qm)n = qmn
סעיף א (1) – הסכום A · המשך
A = a1q(q40 − 1)q2 − 1
📐 נוסחה: חזקה של חזקה
✅ פתרון סופי: A = a1q(q40 − 1)q2 − 1
📐 נוסחה: חזקה של חזקה
(qm)n = qmn
סעיף א (2) – הסכום B
האיברים a4 , a8 , … יוצרים סדרה הנדסית: האיבר הראשון a4 והמנה q4.
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
a4 = a1q3
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
qB = q4
מ־a4 עד a40 יש 10 איברים (המקומות 4, 8, …, 40):
📐 חישוב: מספר איברים
B = a1q3((q4)10 − 1)q4 − 1
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית
B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1
📐 נוסחה: חזקה של חזקה
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn − 1
📐 חישוב: מספר איברים
n = 40 / 4 = 10
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1
📐 נוסחה: חזקה של חזקה
(qm)n = qmn
סעיף א (2) – הסכום B · המשך
B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1
📐 נוסחה: חזקה של חזקה
✅ פתרון סופי: B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1
📐 נוסחה: חזקה של חזקה
(qm)n = qmn
סעיף ב – מציאת q
נחלק את A ב־B (הגורם a1(q40 − 1) מצטמצם):
📐 נוסחה: חילוק שברים
AB = qq2 − 1 · q4 − 1q3
📐 נוסחה: חילוק שברים
AB = (q2 − 1)(q2 + 1)(q2 − 1) · q2 = q2 + 1q2
📐 נוסחה: הפרש ריבועים
q2 + 1q2 = 109
📐 נתון: הנתון
9q2 + 9 = 10q2
📐 נוסחה: כפל בהצלבה
q2 = 9
📐 נוסחה: הוצאת שורש
📐 נוסחה: חילוק שברים
ab : cd = ab · dc
📐 נוסחה: חילוק שברים
ab : cd = ab · dc
📐 נוסחה: הפרש ריבועים
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
📐 נתון: הנתון
AB = 109
📐 נוסחה: כפל בהצלבה
ab = cd ⟹ ad = bc
📐 נוסחה: הוצאת שורש
x2 = k ⟹ x = ±√k
סעיף ב – מציאת q · המשך
q2 = 9
📐 נוסחה: הוצאת שורש
⟹ q = 3
או
q = −3
בסדרה הנדסית עם מנה שלילית הסימנים מתחלפים, ולכן היא אינה עולה. הסדרה עולה, לכן:
📐 תכונה: סדרה הנדסית עולה
q = 3
📐 תכונה: סדרה הנדסית עולה
📐 נוסחה: הוצאת שורש
x2 = k ⟹ x = ±√k
📐 תכונה: סדרה הנדסית עולה
q > 1 ו־a1 > 0 (או 0 < q < 1 ו־a1 < 0)
📐 תכונה: סדרה הנדסית עולה
q > 1 ו־a1 > 0
סעיף ב – מציאת q · המשך
q = 3
📐 תכונה: סדרה הנדסית עולה
✅ פתרון סופי: q = 3
📐 תכונה: סדרה הנדסית עולה
q > 1 ו־a1 > 0
📌 סיכום התשובות
א (1)
A = a1q(q40 − 1)q2 − 1
א (2)
B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1
ב
q = 3
ג
3
ד
−112a1
ה (1)
לא
ה (2)
כן (a1 = 3)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא